La crescita esponenziale del coronavirus Covid-19: un approccio matematico

Il numero di contagiati da coronavirus Covid-19 nel mondo ha seguito una curva di crescita esponenziale. Che cosa vuol dire? Un approccio matematico per la descrizione di questa pandemia

“Più che ‘l doppiar de li scacchi s’inmilla” (Paradiso, XXVIII, 93). Dante Alighieri, con queste parole, allude alla “Leggenda di Sissa”.

Leggendario filosofo indiano, Ibn Dahir Sissa (o Sassa) è citato in alcuni testi arabi quale inventore del gioco degli scacchi, da lui ideato per distrarre e divertire il mitico e annoiato re indiano Shahram, alla corte del quale viveva.

Come ricompensa, Sissa avrebbe poi avanzato un’insolita richiesta: una quantità di grano pari a un chicco per la prima casella della scacchiera, due chicchi per la seconda, quattro per la terza e così via, sempre raddoppiando, per tutte le 64 caselle, vale a dire una quantità incommensurabile, data da un numero di venti cifre. Dopo gli iniziali e divertiti sorrisi dell’ignaro sovrano, sarebbe occorso un giorno intero per giungere a un risultato impronunciabile: 2^64=18446744073709551616.

Lasciamo la leggenda di Sissa e volgiamo l’attenzione al seguente calcolo.

Se riuscissimo a piegare un foglio di giornale per 42 volte otterremmo la distanza tra la Terra e la Luna (384.400 chilometri). Infatti, dato lo spessore di un foglio di giornale pari alla misura di 0,01 centimetri, ad ogni piega lo spessore, sempre raddoppiando (analogamente ai chicchi sulla scacchiera), fino alla 42esima piega, raggiungerà uno spessore all’incirca corrispondente alla suddetta distanza tra Terra e Luna.

Entrambi gli esempi, sovente evocati dai matematici, hanno l’intento di rappresentare il funzionamento di una “crescita esponenziale“.

Tanto premesso, se considerassimo una malattia contagiosa, presupponendo che in media un malato infetti due individui, dovremmo dunque riscontrare il medesimo tipo di crescita osservata nella leggenda di Sissa e dei suoi chicchi di grano.

Allora, dovremmo considerarci tutti irrimediabilmente spacciati? Fortunatamente, no. Infatti, esistono anche altri parametri da tenere nel dovuto conto.

Sappiamo, ad esempio, che mano a mano che una malattia contagiosa avanza, si riscontra anche una percentuale di guariti e di morti, che non possono riprendere la malattia e non possono recare contagio (a livello matematico sono la stessa cosa).

Osservando la prima fase di crescita del Coronavirus in Cina, l’incremento numerico dei contagi è parso impressionante. In realtà, è stato assolutamente normale, dal momento che quanto è lì avvenuto (e, ad oggi, sta avvenendo altrove nel mondo) è corrisposto (e, tuttora, corrisponde) a una crescita esponenziale.

Proviamo ad entrare nel dettaglio e a rappresentare in modo semplice e comprensibile il fondamentale contributo della matematica all’interpretazione di questa drammatica urgenza pandemica, attraverso la spiegazione di alcuni basilari concetti.

Cosa si intende per “R0”?

Trattasi del rapporto riproduttivo di base, ovvero il numero (diverso da malattia a malattia), che indica la quantità di individui che vengono contagiati in media da ogni individuo infetto. Da un infetto si passa ad R0 infetti, ciascuno dei quali infetta altri R0 infetti (si passa, quindi, a R0^2 infetti ), e così via…; al passo n esimo si avranno R0^n contagiati.

In sostanza, R0 rappresenta la base della curva esponenziale. Tanto più è grande R0, tanto più è ripida la curva.

Di seguito, alcuni esempi di R0:

R0 morbillo = 16-18 R0 parotite = 10

R0 parotite spagnola = 2,1 R0 coronavirus = 2,5…

Se R0 è < (minore di) 1 la curva esponenziale cambia andamento, diventando decrescente.

Dunque, affinché l’epidemia si smorzi dobbiamo raggiungere R0 < 1.

A questo punto, è necessario introdurre il “Modello SIR” (proposto da Kermack e McKendrick nel 1927), dedicato appunto alla “matematica delle epidemie”.

In effetti, è da quasi un secolo che si ricorre ai modelli matematici per la descrizione del propagarsi delle epidemie.

I modelli attualmente adoperati originano in gran parte proprio dal Modello SIR. Anche se tale modello contiene ipotesi chiaramente irrealistiche, i concetti da esso introdotti risultano essenziali per fornire una prima intuizione sulla dinamica delle epidemie, intuizione che rimane confermata in modelli più complessi sia pure con numerose modifiche.

In    particolare,   tale    modello    prevede    la    divisione    della    popolazione    in    tre compartimenti (o classi): i suscettibili “S” (gli individui sani che non sono mai entrati

in contatto con la malattia, ma possono esserne infettati), gli infetti “I” (coloro che ne sono stati contagiati) e, infine, i rimossi “R” (coloro che sono guariti, messi in isolamento e immuni e, nella trattazione originale, anche coloro che sono morti per la malattia).

Dunque, si nasce in classe “S”. Se un individuo “S” si ammala, cambierà classe, diventando “I”; poi, da “I” accederà alla classe “R”.

Lo sviluppo della malattia dipende dalle equazioni che governano la transizione da una classe all’altra.

A cosa serve il “confinamento“? Consideriamo una malattia con R0 = 2.

Se non si mettessero in atto strategie di contrasto, il contagio crescerebbe in modo

esponenziale.

Ovviamente, è impossibile isolare tutti. Non è fattibile in una democrazia come la nostra, anche in considerazione dei costi economici e della violazione delle libertà che scaturirebbero da provvedimenti tanto drastici.

Tuttavia, se si riuscisse a isolare 1/3 (un terzo) della popolazione, R0 (che si calcola facendo il rapporto tra contagiati al tempo t e contagiati al tempo t-1), calerebbe da 2 a 1,3 periodico (vale a dire: 1,333333…).

Se si riuscisse a confinare 2/3 (due terzi) della popolazione, allora avremmo R0 = 0,6 periodico (vale a dire: 0,666666…).

Dato che 0,6 periodico è minore di 1, la curva esponenziale cambierebbe  andamento e avremmo vinto la malattia e il suo contagio.

Nel caso del Coronavirus Covid-19, sappiamo che il 20% dei contagiati necessita di ospedalizzazione e che, di tutti questi, il 10% ha bisogno della terapia intensiva.

Se in Italia non si facesse niente per arginare il propagarsi del contagio, la curva esponenziale crescerebbe fino a superare la capacità di risposta del nostro Sistema Sanitario Nazionale. Adottando invece le misure di contenimento, si ritarda il picco epidemico in modo che la curva esponenziale si abbassi.

In realtà, il numero dei contagi è simile (il grafico si abbassa e si allarga), ma il picco viene contenuto entro la capacità di risposta del nostro SSN.

In questi giorni, abbiamo sentito parlare anche di “immunità di gregge“. Cos’è? Trattasi di un meccanismo in base al quale, allorquando la maggior parte di una popolazione è immune nei confronti di un’infezione (perché l’ha contratta o è stata

vaccinata), l’agente patogeno non trova soggetti da infettare, rendendo protetti per via indiretta anche i pochi che risultano ancora suscettibili.

L’immunità di gregge non può essere indotta volontariamente lasciando infettare il maggior numero di persone; piuttosto, è un obiettivo da raggiungere tramite le campagne vaccinali che, partendo da una base di popolazione immune consolidatasi dopo la prima ondata di epidemia, all’arrivo del vaccino vengono condotte a tappeto a partire dal personale sanitario, dai soggetti a rischio o più deboli.

Nei giorni scorsi, nel Regno Unito, un consigliere scientifico del Governo, sir Patrick Vallance, ha spiegato che la strategia per il contenimento del Coronavirus è quella di sviluppare appunto una certa immunità nella popolazione, e che per farlo è necessario che il 60% della popolazione contragga il Coronavirus Covid-19.

Il premier Boris Johnson ha pronunciato le seguenti improvvide parole: “Che il Paese si prepari a perdere prematuramente persone care” (…).

Dunque, data per ipotesi una popolazione P = 100 milioni di persone, si avrebbero allora il 60% di P = 60 milioni di infetti.

Sapendo inoltre che la mortalità è del 3-4% (4% di 60 milioni = 2,4 milioni), si dovrebbero mettere in conto moltissimi decessi.

Questo, per altro, nell’ipotesi ottimistica che un sistema sanitario non collassi.

Il contagio da Coronavirus – che è in circolo almeno dallo scorso novembre e, in Europa, da gennaio – a un certo punto si impenna.

Per ora, sembra avere la medesima crescita esponenziale: dapprima in Cina, in particolare nella provincia Hubei; successivamente, in Corea del Sud, quindi in Iran, in Italia e ora, anche in Stati Uniti, Spagna, Germania e Francia.

Ma si spera anche che, grazie alle severe misure adottate, a un certo punto – proprio come avvenuto in Cina – rallenti e poi si blocchi.

Dr.ssa Grazia Sibilio
Avv. Michele Ametrano

APPROFONDIMENTI:
1) Brevi video molto esemplificativi di una crescita esponenziale:

2) Per comprendere l’andamento di una curva esponenziale, guardare l’articolo del “Washington post” (ove si ipotizza una malattia più contagiosa del Coronavirus Covid-19, visto che ogni volta che una pallina ne tocca un’altra, la contagia).
Link: https://www.washingtonpost.com/graphics/2020/health/corona-simulation-italian/

EMERGENZA CORONAVIRUS

In merito all’emergenza coronavirus, la Fondazione Bartolo Longo III Millennio ha disposto un presidio informativo e di supporto per i pazienti oncologici impegnati in cicli di chemioterapia.
Tutti i dettagli sono esposti nella sezione dedicata all’emergenza (CLICCA QUI).

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